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系统的数学模型―微分方程与传输算子

发布时间:2019-06-10 13:12 来源:未知 编辑:admin

  时域经典法就是直接求解的方法。这种方法的优点是直观,物理概念清楚,缺点是求解过程冗繁,应用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前,人们普遍喜欢采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法),而较少采用时域经典法。20世纪50年代以后,由于(t)函数及计算机的普遍应用,时域卷积法得到了迅速发展,且不断成熟和完善,已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域分析法的基础。

  在本章中,首先建立系统的微分方程,然后用经典法求系统的零输入响应,用时域卷积法求系统的零状态响应,再把零输入响应与零状态响应相加,即得系统的全响应。其思路与程序是:

  其次,将介绍:系统相当于一个微分方程;系统相当于一个H(p);系统相当于一个信号冲激响应h(t)。对系统进行分析,就是研究激励信号f(t)与冲激响应信号h(t)之间的关系,这种关系就是卷积积分。

  研究系统,首先要建立系统的数学模型微分方程。建立电路系统微分方程的依据是电路的两种约束:拓扑约束(KCL,KVL)与元件约束(元件的时域伏安关系)。为了使读者容易理解和接受,我们采取从特殊到一般的方法来研究。

  根据式(2-1)可画出算子形式的电路模型,如图2-1(b)所示。将图2-1(a)与(b)对照,

  可很容易地根据图2-1(a)画出图2-1(b),即将L改写成Lp,将C改写成

  其余一切均不变。当画出了算子电路模型后,即可很容易地根据图2-1(b)算子电路模型列写出式(2-1)。

  注意,在上式的演算过程中,消去了分子与分母中的公因子p。这是因为所研究的电路是三阶的,

  因而电路的微分方程也应是三阶的。但应注意,并不是在任何情况下分子与分母中的公因子都可消去。

  推广之,对于n阶系统,若设y(t)为响应变量, f(t)为激励,如图2-2所示,则系统微分方程的一般形式为

  H(p)称为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或转移算子,它为p的两个实系数有理多项式之比,

  其分母即为微分方程的特征多项式D(p)。H(p)描述了系统本身的特性,与系统的激励和响应无关。

  这里指出一点:字母p在本质上是一个微分算子,但从数学形式的角度,以后可以人为地把它看成是

  一个变量(一般是复数)。这样,传输算子H(p)就是p的两个实系数有理多项式之比。

  解 其算子形式的电路如图2-3(b)所示。对节点①,②列算子形式的KCL方程为

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